Matriu inversa

1.5 Inversa d'una matriu. Invertir una matriu és obtenir-ne una altra (si existeix) que en sigui la inversa pel producte de matrius, o sigui, que multiplicades donin la matriu identitat. La matriu inversa està estretament relacionada amb el procés de resolució de sistemes d'equacions determinats.

Exemples preliminars.

exemple 13 La matriu inversa de és .
Per veure-ho, n'hi ha prou amb efectuar el producte i comprovar que:

exemple 14 La matriu no té matriu inversa. Efectivament, el resultat de multiplicar A per qualsevol altra matriu B tindrà sempre una fila de zeros:

Propietats.

matrius quadrades

^-1

AA^-1 = A^-1A = Id

La inversa d'una matriu és única. Així, si AB=Id i AC=Id, es té que B=C.

determinant

Càlcul de la inversa.

sistemes lineals

exemple 15 Per a calcular la matriu inversa de

seguint el mètode de Gauss, escribim la matriu ampliada:

i operem per files fins a obtenir

La part dreta de la matriu ampliada conté ara la matriu inversa

exercici 7 problema 1.9

Relació amb els sistemes d'equacions.

exemple 16 Es vol calcular la inversa de la matriu A de l'exemple anterior. La inversa, (desconeguda de moment), serà una matriu B tal que AB=Id, o sigui, tal que:

Si efectuem el producte de matrius, s'obtenen dos sistemes d'equacions

que podem escriure com:

Com que els passos a seguir en l'algorisme de Gauss depenen només de la part esquerra de la matriu, i no dels termes independents, això justifica que es pugui escriure una nova matriu ampliada

i resoldre d'aquesta manera els dos sistemes simultàniament.

exercici 8 problema 1.10