Lliçó 3 Sistemes de referčncia.

Descripció. S'introdueix la noció de sistema de referčncia, i s'estudia com varien les coordenades d'un punt quan s'expressa en referčncies diferents.
3.1 El problema del canvi de referčncia.

Sistemes de referčncia. Una referčncia R a la recta, pla, espai ... consta d'un punt O i d'una base de l'espai vectorial associat.

El punt O representa l'origen de coordenades, mentre que els vectors de la base determinen les direccions dels eixos de projecció.

L'exemple més habitual és la referčncia cartessiana al pla (o a l'espai):

Exemple.
Referčncia canňnica al pla.

En aquest cas,.
O és un punt qualsevol del pla, i són un parell de vectors (normalment, es prenen ortogonals i unitaris), que formen base de R2.

Un cop fixada la referčncia, cada punt P ve caracteritzat per les seves coordenades i viceversa.
P = (3,2)R (les coordenades de P en referčncia R són (3,2)) significa que

Observeu l'equivalčncia entre:
      1.- projectar el punt P sobre els eixos i mesurar-ne les projeccions, i
      2.- obtenir el vector OP com a combinació lineal dels de la base.

En general, si P=(p1, p2), o bé
si treballem a Rn.

Les coordenades d'un vector són les del seu punt extrem quan el vector estŕ ancorat a l'origen.

Noteu que l'origen de coordenades no influeix en les coordenades d'un vector, i que aquestes depenen només de la base.

Es parla de les coordenades d'un vector respecte d'una base B, i no respecte d'una referčncia R.

Hi ha d'altres tipus de coordenades que no esdudiarem aquest curs, perň sí més endavant (Per exemple, les coordenades polars )

Canvi de referčncia. Sistemes de referčncia diferents assignen coordenades diferents a un mateix punt del pla (espai, ...).
Problema. Si i són dues referčncies del pla, i el punt P té coordenades en la primera referčncia, quines són les coordenades de P en la segona referčncia ?

Un canvi de referčncia es pot desglossar en dues operacions diferents: canvi d'origen i canvi d'eixos.

3.2 Canvi d'origen. Comencem amb un exemple.

Problema.     Sigui una referčncia al pla (la referčncia inicial o canňnica), i P un punt de coordenades (3,3)R.

Introduďm una nova referčncia (eixos iguals, origen diferent) amb A=(2,1)R.

Quines són les coordenades de P en referčncia S?

Solució.

S'observa que les projeccions de P sobre els nous eixos s'obtenen restant les projeccions de P i A sobre els eixos de la referčncia inicial.

Per tant,

Alternativament, podem observar que

que escrit en coordenades respecte a la base resulta

En general, per a un punt P del pla, (espai,...) i dues referčncies i es satisfŕ:

(p'1,p'2,...) = (p1,p2,...) - (a1,a2,...)

on (p1,p2,...) són les coordenades de P en la referčncia inicial R
(p'1,p'2,...) són les coordenades de P en la nova referčncia S, i
(a1,a2,...) són les coordenades del nou origen A en la referčncia inicial R.

3.3 Canvi d'eixos (o de base). A continuació s'estudiarŕ com varien les coordenades d'un punt en funció dels eixos de referčncia escollits, quan l'origen es manté fix .

Les direccions i unitats de mesura dels eixos venen determinats únicament pels vectors de la base. D'aquí que es parli indistintament de canvi d'eixos o de canvi de base .

Canvi d'eixos (o de base).

Comencem amb un exemple.

Problema. Es considera les referčncies i on i .
Si P té coordenades en referčncia R, quines són les seves coordenades en referčncia S?
Solució grŕfica. Si Q i P són les projeccions de P sobre els nous eixos de coordenades, llavors
p'1 és la longitud del segment
p'2 és la longitud del segment.
Solució algčbrica. Es considera la matriu M que té per columnes les coordenades dels vectors en referčncia R, i es calcula la seva inversa M-1.
Les coordenades de P en referčncia S s'obtenen efectuant el producte de M-1 per les coordenades

En general, si i són dues referčncies al pla i es coneixen les coordenades en referčncia R del vectors de S, i llavors la matriu s'anomena matriu del canvi de base (o d'eixos) de R a S, i satisfŕ per a qualsevol punt .

  • La matriu M-1 és la única que satisfŕ la propietat anterior.
  • El procés descrit és del tot general, i serveix també per a referčncies amb 3 o més vectors (espai, ...)
exercici:   problema 3.6 a,b i c.

Justificació de l'ús de la matriu inversa.

(segueix exemple anterior)   Tenint en compte que les coordenades de P en referčncia S són els coeficients p'1, p'2 utilitzats en la combinació lineal
Per tant, p'1, p'2 són les solucions del sistema
que no són altres que

En general, la combinació lineal a considerar és que matricialment s'escriu com

o, alternativament

El canvi invers d'eixos o de base (canvi de S a R). Normalment, el que coneixem són les coordenades d'un punt P en la referčncia R original del problema, , i el que volem saber són les coordenades de P en una referčncia "nova", S, introduďda posteriorment.

Perň també es pot plantejar el problema invers:
conegudes les coordenades de P en la referčncia S, , determinar les coordenades de P en la referčncia R, .

Observeu (final apartat anterior) que la matriu M resol el problema plantejat.
M és la matriu del canvi de S a R.

3.4 Canvi global de referčncia. Tractem ara la situació més general, en quč la referčncia original i la nova referčncia no mantenen cap element, ni origen ni eixos, en comú.
Aquest cas es pot reduďr a una seqüčncia de dos ja vistos:
1.   Canvi d'origen (de O a A).
2.   Canvi de base (de a .
Nota: l'ordre no és rellevant.

Descomposició en dos canvis successius.

Problema. Es considera les referčncies i on , i .
Si P té coordenades en referčncia R, quines són les seves coordenades en referčncia S?
Solució. Introduďm una referčncia auxiliar . Les coordenades de P en referčncia T són (canvi d'origen):
Efectuant ara un canvi d'eixos de T a S s'obté:

En general, si i són les dues referčncies al pla i es coneixen les coordenades en referčncia R dels vectors de S, i i de l'origen , llavors

El procés descrit és del tot general, i serveix també per a referčncies amb 3 o més vectors (espai, ...)

El canvi invers (canvi de S a R). Si es coneix les coordenades d'un punt en la nova referčncia S, les coordenades en la referčncia original R s'obtenen fent: